کار در کلاس صفحه ۴۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
با توجه به نمودار:
الف. شرایط تحویل ندادن به موقع پروژه میان پیمانکار و وزارت راه را بیان کنید.
ب. به کمک نقاط مندرج در نمودار، ضابطه هریک از نیم‌خط‌ها با شیب مثبت و منفی را به دست آورید.
ج. به کمک تعریف تابع قدر مطلق، دو ضابطه را با یک ضابطه بیان کنید.
د. شیب خط در تابع به دست آمده در قرارداد میان پیمانکار و وزارت راه چه معنایی دارد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه ۴۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
این تمرین یک نمونهٔ کاربردی از **تابع قدر مطلق** در تحلیل قراردادهای واقعی (به‌ویژه جریمه‌ها) است. نمودار، رابطهٔ بین **زمان تحویل** ($\\text{x}$) و **نرخ جریمه** ($\\text{y}$) را نشان می‌دهد.
**تحلیل نمودار:**
* **محور $\text{x}$ (زمان تحویل):** $\text{x}=0$ نشان‌دهندهٔ زمان مقرر تحویل است (اول اردیبهشت ۹۷).
* $\text{x} < 0$: تحویل **زودتر** از موعد.
* $\text{x} > 0$: تحویل **دیرتر** از موعد (تأخیر).
* **محور $\text{y}$ (نرخ جریمه):** مقدار جریمه بر حسب میلیون تومان.
* **نقطه کمینه (راس V):** $(athbf{0}, athbf{0})$؛ یعنی اگر دقیقاً سر موقع تحویل داده شود، جریمه **صفر** است.
* **نقاط مرجع:** $(athbf{-3}, athbf{3})$ و $(athbf{4}, athbf{4})$ (نقاط پایانی).
---
## الف. شرایط تحویل پروژه (طبق نمودار)
نمودار نشان می‌دهد که تحویل پروژه بین $\mathbf{3}$ واحد زمان (ماه یا هفته) قبل از موعد مقرر ($\\mathbf{x}=-3$) تا $\mathbf{4}$ واحد زمان بعد از موعد مقرر ($\\mathbf{x}=4$) در نظر گرفته شده است. این زمان در محور افقی با **ارد یبهشت ۹۷** به عنوان $\text{x}=0$ مشخص شده است.
* **تحویل زودهنگام ($athbf{-3 \le \text{x} < 0}$):** هر واحد زمان زودتر تحویل، جریمه‌ای برابر با **نرخ جریمه مثبت** دارد (یعنی پاداش منفی یا جریمه نقدی دریافت می‌کند).
* **تحویل به‌موقع ($athbf{\text{x} = 0}$):** جریمه **صفر** است.
* **تحویل دیرهنگام ($athbf{0 < \text{x} \le 4}$):** هر واحد زمان تأخیر، جریمه‌ای برابر با **نرخ جریمه مثبت** دارد.
**نتیجه:** هرگونه انحراف از زمان مقرر (چه زودتر و چه دیرتر) باعث جریمه (یا کسر دستمزد) می‌شود. جریمه تحویل دیرهنگام تا ۴ واحد و جریمه تحویل زودهنگام تا ۳ واحد زمان تعریف شده است.
---
## ب. ضابطه نیم‌خط‌ها (چندضابطه‌ای)
### ۱. نیم‌خط با شیب منفی (تحویل زودهنگام): $-3 e ext{x} < 0$
* **نقاط:** $(athbf{-3}, athbf{3})$ و $(athbf{0}, athbf{0})$
* **شیب ($athbf{a}$):** $\text{a} = \frac{0 - 3}{0 - (-3)} = \frac{-3}{3} = -1$
* **ضابطه ($athbf{y} = ext{ax} + ext{b}$):** چون از $(athbf{0}, athbf{0})$ می‌گذرد، $\text{b}=0$.
$$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = - ext{x}} \quad \text{اگر } \mathbf{-3 \le \text{x} < 0}$$
### ۲. نیم‌خط با شیب مثبت (تحویل دیرهنگام): $0 e ext{x} e 4$
* **نقاط:** $(athbf{0}, athbf{0})$ و $(athbf{4}, athbf{4})$
* **شیب ($athbf{a}$):** $\text{a} = \frac{4 - 0}{4 - 0} = 1$
* **ضابطه ($athbf{y} = ext{ax} + ext{b}$):** چون از $(athbf{0}, athbf{0})$ می‌گذرد، $\text{b}=0$.
$$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = ext{x}} \quad \text{اگر } \mathbf{0 \le \text{x} \le 4}$$
---
## ج. بیان دو ضابطه با یک ضابطه (تابع قدر مطلق)
با توجه به اینکه $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{-x}}$ برای $\text{x} < 0$ و $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{x}}$ برای $\text{x} \ge 0$ (با نادیده گرفتن حدود $-3$ و $4$)، ضابطهٔ کلی این بخش همان تابع قدر مطلق است.
$$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = |\text{x}|}$$
با در نظر گرفتن دامنهٔ کل (از $-3$ تا $4$):
$$\mathbf{ ext{f}( ext{x}) = |\text{x}|} \quad \text{برای } \mathbf{-3 \le \text{x} \le 4}$$
(توجه: در نمودار نقطهٔ $(-3, 3)$ و $(4, 4)$ پر هستند، اما به دلیل تقارن نبودن کامل بازه، این حالت در نظر گرفته می‌شود.)
---
## د. معنای شیب خط
**شیب خط** در نمودار مکان-زمان (فاصله/زمان) نشان‌دهندهٔ **سرعت** بود.
در این نمودار، $\mathbf{\text{شیب} = \frac{\text{تغییر در نرخ جریمه}}{\text{تغییر در زمان تحویل}}}$:
* **مقدار شیب:** $\mathbf{1}$ (میلیون تومان بر واحد زمان).
* **معنای شیب مثبت ($athbf{+1}$):** نشان‌دهندهٔ نرخ **جریمهٔ تأخیر** است. به ازای **هر واحد زمان تأخیر** ($\\text{x}>0$)، مبلغ $\mathbf{1}$ میلیون تومان به جریمه اضافه می‌شود.
* **معنای شیب منفی ($athbf{-1}$):** نشان‌دهندهٔ نرخ **جریمهٔ تحویل زودهنگام** است. به ازای **هر واحد زمان زودتر تحویل** ($\\text{x}<0$)، مبلغ $\mathbf{1}$ میلیون تومان از درآمد پیمانکار کسر می‌شود. (در واقع این کسر دستمزد، نوعی جریمه محسوب می‌شود).
**نتیجه:** شیب خط، **نرخ جریمهٔ ثابت** به ازای هر واحد انحراف زمانی (یک واحد زمان زودتر یا دیرتر) از زمان تحویل پروژه است.
